keywords:

经济增长、索洛模型、资本积累方程、技术进步、资本积累的黄金率、稳态、增长核算、绝对收敛、条件收敛、收敛

abstract:

经济增长在现代经济中的地位越来越重要，它关系着一国综合国力的提升及其居民的生活水平。

经济增长的事实

从世界各国的增长经验看，经济增长包括以下事实：

人均产出的平均增长率为正并相对不变
资本的实际回报率并没有显示出上升或下降的趋势。
国民收入中归于资本及劳动的份额均没有明显的改变
各国经济增长速度存在巨大差异
各国人均收入水平存在巨大差异
各国经济的增长是不平衡的

各国经济增长迅速

各国经济增长的初始条件存在巨大差异

一国的初始禀赋对该国经济的长期增长存在巨大影响，为什么呢？

经济增长的代价

经济增长的解释(新古典模型)

简单的索洛模型

研究对象：无技术进步的封闭经济

基本假设：

生产函数具有连续，规模报酬不变，资本和劳动可相互替代的特点
没有外国和国际贸易的封闭经济。
没有政府部门。
平均储蓄倾向不变，社会储蓄函数为$I=S=sY$
技术、和资本折旧速度是外生变量。
劳动力供给的增长率不变

假定生产函数具有以下形式
$$
Y=F(L,K)
$$
其中Y代表产出，K代表资本存量，L代表劳动力，且$F_K>0,F_L>0,F_KK<0,F_LL<0$,即资本和劳动的边际产出为正，但边际产出递减。$L,K$是时间$t$的函数。

因为F具有规模报酬不变的特点，所以有
$$
\lambda Y=F(\lambda L,\lambda K)
$$
令
$$
\lambda =\frac{1}{L}
$$
得到
$$
\frac{Y}{L}=F(1,\frac{K}{L})
$$
记
$$
y=\frac{Y}{L},k=\frac{K}{L}
$$
则有
$$
y=F(k,1)=f(k)
$$

由上式可知，人均产出仅仅依赖于人均资本存量。索洛模型的人均生产函数曲线满足边际递减的规律：随着人均资本存量增加，资本的边际量下降。

索洛模型假定平均储蓄倾向不变，储蓄率被定义为国民收入中储蓄所占的份额在，用s表示。在一个封闭经济中，一国的储蓄率等于储蓄率乘以国民收入：
$$
S=sY
$$
资本存量的增加量等于新投资减去资本折旧，假定折旧为0，则资本存量的增加等于新投资。由于封闭经济中，储蓄等于投资，故:
$$
\dot K=I=S=sY
$$
其中，$\dot K$表示资本存量随时间的变化，在简单的索洛模型中，假定劳动力供给增长率不变，且为常数n，为了得到人均资本增长率和人均产出之间的关系，结合$k=\frac{K}{L}$,有：
$$
\dot k=\frac{\dot K L-K\dot L}{L^2}
$$

$$
\dot k=\frac{\dot K}{L}-k\frac{\dot L}{L}
$$

$$
\dot k=\frac{sY}{L}-kn
$$

$$
\dot k=sf(k)-nk
$$

在$\dot k=sf(k)-nk$中，$sf(k)$反映了人均储蓄的大小，$nk$表示使人均资本不变所需要的投资水平,成为”必要投资“或”临界投资“。

上图中，横坐标表示人均资本存量，纵坐标表示人均产出水平，曲线代表人均储蓄水平$sf(k)$。由于$f’((k)>0$,储蓄率$s$是一个外生变量，资本的边际收益递减，所以随着人均资本增加，人均储蓄曲线越来越平。从原点出发的射线$nk$是收支相抵项，代表了为保持现有的人均资本不变而需要的投资，由于没有折旧，因此它等于装备新增劳动力的投资。人均储蓄曲线和收支相抵投资项射线的交点$E$表示经济中由储蓄转化的投资正好能维持人均资本水平不变，这时经济进入稳态或沿着平衡增长路径运行。在索洛模型中，经济稳态E点对应$\dot k=0$的情形，相应的$k^{\star}$是稳态人均资本水平。

参数	数值(稳态)	解释
人均产出增长率$\gamma _y$	0	$y=f(k^{})$,$k^{}$不变，y不变，y增长率为0
产出Y增长率	n
劳动力N	n
资本存量K	n

假定折旧为$\delta$,则
$$
\dot{K}=I-\delta K=sY-\delta K
$$
$ K$为资本存量，$ \delta$为折旧率，$\delta K$为原有资本损耗，$\dot{K}$为瞬间资本增量。
$$
\frac{\dot{K}}{L}=I/L-\delta K/L=sY/L-\delta K/L=sf(k)-\delta k
$$
对$k=\frac{K}{L}$求关于时间t的导数，
$$
\dot{k}=\frac{\dot K}{L}-nk=\frac{\dot K}{L}-\frac{\dot N}{N}\frac{K}{N}=sf(k)-k(\delta +n)
$$
当人均资本不变，即人均资本增量$\dot k=0$时 $$sf(k)=k\delta+n\delta$$

记$k(\delta +n)$为资本广化，当$\dot k>0$时，人均资本存量k增加，这种情况称为资本深化。
$$
资本深化=人均储蓄-资本广化
$$

人均投资sf(k)恰好被分为两部分:

1.平均每人给新增人口分配的资本nk；
2.人均弥补折旧的投资$k\delta$。

此时就没有新的投资可让人均资本增加了，人均资本增量为0。

也就是说，原有的人口将能够投资的资金sf(k)弥补折旧后，剩余的资金刚好分配给新增的人口n，且每个新增的人口分到资金k。

但如果$$sf(k)>n\delta+k\delta$$,则说明在弥补原有资产折旧后，并且每个新增的人口分到资金k后，还能给一部分人分配一定资金，这样一定会使人均资本增加。

有技术进步的索洛模型

在含有技术进步的索洛模型中，生产函数的形式变为 $$ Y=F(K,A(t)L) $$ 假定生产函数规模效益不变，劳动生产率以一个固定不变的速率$x$增长，有$A(t)=A_0e^{xt}$，可以把$A(t)L$看作**有效劳动**，即考虑了劳动生产率提高后的实际劳动投入，即 $$ \hat L=A(t)L $$ 人均资本存量（资本存量除以劳动量)为 $$ \dot{\hat{k}}=\frac{\dot{K}\hat{L}-K\dot{\hat{L}}}{{\hat{L}}^2} $$ $$ \dot{\hat{k}}=\frac{\dot{K}}{\hat L}-\frac{K}{\hat{L}}\frac{\dot{\hat{L}}}{\hat {L}} $$ 在封闭经济中，**国内储蓄等于国内投资**，有 $$ \dot{\hat{k}}=\frac{sY}{\hat L}-\frac{K}{\hat L}\frac{\dot{\hat{L}}}{\hat L} $$ 又 $$ \hat L=A(t)L $$ 所以 $$ \dot{\hat{k}}=\frac{sY}{ A(t)L}-\frac{K}{ A(t)L}\frac{{ \dot{A(t)}L+A(t)\dot{L}}}{ A(t)L} $$ $$ \dot{\hat{k}}=sf(\hat k)-\hat{k}(\frac{\dot A(t)}{A(t)}+\frac{\dot{L}}{L}) $$ 资本存量积累方程： $$ \dot{\hat{k}}=sf(\hat{k})-(n+x)\hat{k} $$

把$(n+x)$视为有效劳动增长率。

如果考虑折旧$\delta$，则完整的资本存量增长方程（资本积累方程）如下：
$$
\dot{\hat{k}}=sf(\hat{k})-(n+x+\delta)\hat{k}
$$
$(n+x+\delta)\hat{k}$是考虑劳动力、技术进步和折旧后的收支相抵投资项，可以看作是资本存量自然增长所必需的最低投资。

当$\dot{\hat{k}}>0$时，投资增加促进了资本存量的积累，经济面临资本深化的情形。

当$\dot{\hat{k}}<0$时，储蓄小于投资，经济体中的资本存量下降，经济增长率下降。

当$\dot{\hat{k}}=0$时，经济达到均衡状态，人均资本存量为${\hat{k}}^{*}$。

无论初始的人均资本处于什么水平，经济最终都要向${\hat{k}}^{*}$收敛。

参数	数值(稳态)	解释
人均产出增长率$\gamma _y$	x
产出Y增长率	n+x
劳动力N
资本存量K

结论

1.在考虑技术进步的条件下，人均产出和总产出分别以x和x+n的速率增长因而技术进步可以解释人均意义上的经济增长。

2.索洛模型表明，只有技术进步是一个经济长期持续增长的源泉。

3.长期均衡增长率与储蓄率无关，提高储蓄率只能实现在达到稳态前之前的短期增长而不是长期持续的高增长。

4.人口增长对人均意义上的增长没有意义。

5.为提高一国经济的劳动生产率。并最终提高一国的国民收入，通常有两个途径：a.提高整个f(k)曲线，即改变生产函数和使用新技术，在一定人均资本下提高劳动生产率；提高s，即增加积累和提高储蓄率。

最优储蓄率的决定

长期消费水平最高的资本积累水平被称为资本积累的黄金率水平。要使人均消费达到最大，人均有效资本存量${\hat k}^{\star}$的选择应该使${f(\hat k}^{\star})$与$s{f(\hat k}^{\star})$之间的垂直距离$c^{\star}={f(\hat k}^{\star})-s{f(\hat k}^{\star})$达到最大，这个稳态的人均资本存量水平${\hat k}^{\star}$就称为黄金率水平${\hat k}^{\star}_{g}$。

由于稳态人均产出为${\hat k}^{\star}$，根据资本存量积累方程，稳态时人均储蓄
$$
sf({\hat{k}}^{\star})=(n+x+\delta){\hat{k}}^{\star}
$$
对于每一个储蓄率s，都有唯一的${\hat{k}}^{\star}$与之对应，因此可以把${\hat{k}}^{\star}$看作s

的函数。所有稳态时的消费有
$$
c^{\star}=(1-s)f({\hat{k}}^{\star}(s))
$$
将$c^{\star}$对s求一阶导数，得
$$
f’[{\hat{k}}^{\star}(s)]=n+\delta+x
$$
满足这个条件的储蓄率就为最优储蓄率。

在实际经济既有人口增长也有技术进步的情况下，资本的边际净产出
$$
f’[{\hat{k}}^{\star}(s)]-\delta
$$
与$(n+x)$的关系决定了存量资本是高于还是低于黄金律稳态水平。

在既定的资本存量下，一个国家可以通过储蓄政策的调整影响长期的经济增长。

如果一国通过经济政策改变一国来的储蓄水平，使稳态的人均资本存量正好等于黄金律水平，也就达到了最优储蓄率，则经济可以收敛到黄金律的稳态水平。

当资本存量过高时，降低储蓄率将使消费者在调整过程和最终阶段都获得更高的消费水平。

当资本存量过低时，降低储蓄率将使消费者在调整过程消费水平下降，最终阶段获得更高的消费水平。

增长的核算

假设生产规模报酬不变，且函数形式为
$$
Y=AF(K,L)
$$
A是技术水平指标，也成为全要素生产率(TFP)。对生产函数两边取对数，并对时间求导，得到

$$
\frac{\dot{Y}}{Y}=\frac{\dot{A}}{A}+\frac{F_K\dot{K}+F_L\dot{L}}{F}
$$

$$
=\frac{\dot{A}}{A}+\frac{Y_K K}{Y}\frac{\dot{K}}{K}+\frac{Y_L L}{Y}\frac{\dot{L}}{L}
$$

$$
=\gamma_A+\alpha_K\gamma_K+\alpha_L\gamma_L
$$

符号	经济学含义
$\frac{\dot{Y}}{Y}$	经济增长率	$=\gamma_{Y}$
$\frac{\dot{A}}{A}$	技术增长率（全要素生产率增长率）	$=\gamma_{A}$
$\frac{\dot{L}}{L}$	劳动增长率	$=\gamma_{L}$
$\frac{\dot{K}}{K}$	资本增长率	$=\gamma_{K}$
$Y_K$	资本的边际产出	$=AF_K$
$Y_L$	劳动的边际产出	$=AF_L$
$Y_K K$	资本所赚取的收入	假定了边际报酬不变
$Y_L L$	劳动所赚取的收入	假定了边际报酬不变
$\frac{Y_L L}{Y}$	劳动的收入占国民收入的比重	$\alpha _L$
$\frac{Y_K K}{Y}$	资本的收入占国民收入的比重	$\alpha _K$

$$
\frac{\dot{Y}}{Y}=\gamma_A+\alpha_K\gamma_K+\alpha_L\gamma_L
$$
被称为增长核算公式。

它表示经济增长可以分解为三个部分：全要素生产率增长率$\gamma_A$，资本的贡献比例($\alpha_K\gamma_K$),以及劳动的贡献比例($\alpha_L\gamma_L$)。
$$
\gamma_A=\gamma_Y-\alpha_K\gamma_K-\alpha_L\gamma_L
$$
使用上述间接方法求得的全要素生产率贡献也被称为索洛剩余。

增长的收敛性

收敛的含义

收敛的类别	含义
绝对收敛	初始人均产出水平较低的国家与初始人均产出水平较高的国家相比，有更快的经济增长速度，即人均产出增长率与初始人均产出水平负相关。
条件收敛	在控制了稳态之后，初始收入低的国家或地区，相比高收入国家或地区，有更快的增长速度。
$\sigma$收敛	地区间人均收入的离差随时间的推移而趋于下降。
俱乐部收敛	初期经济发展水平接近的经济集团各自内部的不同经济系统之间，在具有相似的结构特征的前提下区域收敛，即较穷的国家集团和较富的国家集团各自内部存在着条件收敛，而两个集团之间却没有收敛的迹象。

收敛的速度

由索洛模型可以知道，每个经济都收敛于其自身产出的稳态，这一收敛的速度与其距离稳态的距离成正比。

或者说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率越快。有效人均资本$\hat{k}$可近似表示为
$$
\dot{\hat{k}}=\lambda (\hat{k}-\hat{k}^{\star})
$$
其中
$$
\lambda=(1-\alpha_K({\hat k}^{\star}))(n+x+\delta)
$$
如果各国的稳态人均资本水平都相同，则那些拥有较低有效人均资本的穷国倾向于有更快的增长。

更为现实的情况是，由于不同的经济系统，特别是不同的国家，往往具有不同的技术水平和制度背景，在储蓄水平和人口增长率等诸多方面也存在差异，因而不同国家稳态的人均有效资本水平相差很大。

更一般的情况是，当稳态有效人均资本水平不同时，在不同的经济系统间，低于自身稳态水平越远的国家将产生更高的增长率。

5.经济增长及其核算