期权价值的影响因素【⭐⭐⭐】

主要考虑看涨期权。看跌期权价值通过平价定律得出。

期权的内在价值和时间溢价

$$期权价值＝内在价值+时间溢价$$

内在价值

期权的内在价值，是指期权立即执行产生的经济价值。由标的资产的现行市价与执行价格决定。

【注意】即使是还未到期的欧式期权，也假设期权可立即执行，由此产生的经济价值来确定欧式期权
的内在价值。

【区分1】到期日价值＆内在价值

内在价值不同于到期日价值，期权的到期日价值取决于到期日标的股票市价与执行价格的高低。如果
现在已经到期，则内在价值＝到期日价值。

【区分2】实值期权＆虚值期权＆平价期权

实值期权（实值状态） 虚值期权（虚值状态） 平价期权（平价状态）
概念 执行期权产生正回报 执行期权产生负回报 执行期权产生0回报
内在价值 >0 =0 =0
看涨期权 现行价格＞执行价格 现行价格＜执行价格 现行价格＝执行价格
看跌期权 现行价格＜执行价格 现行价格＞执行价格 现行价格＝执行价格
可能被执行 不会被执行 不会被执行

【提示】内在价值最低为0

【思考】期权内在价值为0，期权价值也是0吗？

期权处于虚值状态或平价状态时不会被执行，只有实值期权才可能被执行，但也不一定被执行。因为
存在时间溢价（股价波动的价值），只有到期日的实值期权才肯定被执行，因为此时已经不能再等待。

时间溢价

期权的时间溢价，是指期权价值超过内在价值的部分

时间溢价＝期权价值－内在价值

【本质】

期权的时间溢价是一种等待的价值。期权买方愿意支付超出内在价值的溢价，是寄希望于标的股票的变化可以增加期权的价值。对于美式期权，在其他条件不变的情况下，离到期时间越远，价值波动的可能性越大，期权的时间溢价越大

如果已经到了到期时间，期权的价值（价格）就只剩下内在价值，即时间溢价为0

【区分】期权时间价值＆货币时间价值
期权的时间价值 时间带来的“波动的价值”，未来存在不确定性而产生的价值，不确定性越强，期权时间价值越大
货币的时间价值 时间“延续的价值”，时间延续得越长，货币的时间价值越大

【多选题】（2021）2021年8月2日，甲公司股票市场价格70元。有一以甲公司股票为标的资产的美式看跌期权，价格8元，3个月后到期，执行价格75元。下列关于该期权的说法中，正确的有（）。

A.期权时间溢价为3元

B.期权处于虚值状态

C.期权肯定会被执行

D.期权内在价值为5元

『正确答案』AD

『答案解析』内在价值＝75－70＝5（元），该期权处于实值期权，该期权有可能被执行，但不一定会被执行，选项D正确，选项B、C错误。时间溢价＝8－5＝3（元）。所以选项A正确。

影响期权价值的主要因素

变量 欧式看涨 欧式看跌 美式看涨 美式看跌
股票价格 + - + -
执行价格 - + - +
剩余期限 不一定 不一定 + +
股价波动率 + + + +
无风险利率 + - + -
预期红利 - + - +

股票市价与执行价格

1.看涨期权：执行期权带来的收入是股价超过执行价格X以上的部分，看涨期权价值与股价同向变动，与执行价格反向变动。

2.看跌期权：执行期权带来的收入是股价低于执行价格以下的部分，看跌期权价值与股价反向变动，与执行价格同向变动。

剩余期限（到期期限）

1.欧式期权：较长的时间不一定增加欧式期权价值。虽然较长的时间可以降低执行价格的现值，但并不增加执行的机会。到期日价格降低，有可能超过时间价值的差额。例如：2个欧式看涨期权，一个是1个月后到期，一个是3个月后到期，预计标的公司两个月后将发生大量现金股利，股票价格会大幅下降，则有可能使时间长的期权价值低于时间短的期权价值。

2.美式期权：较长的到期时间能增加美式期权的价值，到期时间越长，股价变动范围越大，时间溢价越大；同时，执行价格现值减少会增加美式看涨期权价值

股价波动率

在期权估值过程中，股价的波动性是最重要的因素。如果一种股票的价格波动性很小，其期权也值不了多少钱。

股价波动率越大，期权价值越大。

无风险利率

无风险利率作为折现率将影响执行价格的现值

1.看涨期权：执行价格的现值越低，对期权持有人越有利

2.看跌期权：执行价格的现值越低，对期权持有人越不利

【结论】

无风险利率越高，执行价格越低，从而增加看涨期权的价值，降低看跌期权的价值

预期红利

在除息日后，红利的发放引起股票价值降低

（1）看涨期权：看涨期权价格降低，看涨期权与预期红利大小呈反向变动

（2）看跌期权：看跌期权价格上升，看跌期权价值与预期红利大小呈同向变动

【多选题】（2020）假设其他条件不变，下列各项中，会导致美式看跌期权价值上升的有（）。

A.无风险利率下降

B.标的股票发放红利

C.标的股票价格上涨

D.标的股票股价波动率增加

『正确答案』ABD

『答案解析』对于看跌期权，无风险利率下降，执行价格的现值越高，看跌期权价值越高，选项A正确；发放红利会导致股票价格下降，看跌期权价值上升，选项B正确；股票价格上升，看跌期权价值下降，选项C错误；股票价值波动率增加，期权价值上升，选项D正确。

【单选题】（2016）在其他条件不变的情况下，下列关于股票的欧式看涨期权内在价值的说法中，正确的（）。

A.股票市价越高，期权的内在价值越大

B.期权到期期限越长，期权的内在价值越大

C.期权执行价格越高，期权的内在价值越大

D.股价波动率越大，期权的内在价值越大

『正确答案』A

『答案解析』期权内在价值是指期权立即执行所产生的价值，内在价值由当前股价与执行价格决定，所以对于看涨期权来说，股票市价越高，期权内在价值越大。选项A正确

金融期权价值的评估方法

【计算思路】未来现金流量现值

image-20231231135927064

如果没有足够的数学背景知识，要全面了解期权定价模型是非常困难的。出于本教材的目的，不打算全面介绍期权估值模型，而主要通过举例的方法介绍期权估值的基本原理和主要模型的使用方法。

期权估值原理

【学习前提知识】期权二叉树

【例题】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升33.33％，或者下降25％，无风险利率为每年4％。

题干条件：
股票现在的市价 S0 50（元）
看涨期权期限 - 6个月×1期
到期时股价上行乘数 u 1＋33.33%
到期时股价下行乘数 d 1－25.00%
期权执行价格 X 52.08（元）
无风险利率（计息期利率） r 2%

step1：股价二叉树

image-20231231140055847

step2：根据股价二叉树计算期权二叉树

根据$C_u$、$C_d$计算$C_0$可以使用以下三个模型：

image-20231231140109466

（一）复制原理

（二）套期保值原理

（三)风险中性原理

复制原理

复制原理的基本思想是构建一个股票和借款的适当组合，使得无论股价如何变动，投资组合的损益都
与期权（到期日价值）相同，那么，创建该投资组合的成本（自己承担的部分【不包括借入的部分】）就是期权的价值

1.计算思路（原理）

购入期权 借钱买股票
现值 成本 $C_0$ = $H×S_0－PV(D)$
到期日价值 股价上涨 $C_u$ = $H×S_u－D$
到期日价值 股价下跌 $C_d$ = $H×S_d－D$

【提示】股价上涨，到期日股价$S_u$，期权到期日价值$C_u$；股价下跌，到期日股价$S_d$，期权到期日价值$C_d$;H为复制一份期权需要的股票数量（套期保值比率，对冲比率）；D为到期还款金额，PV（D）为到期还款金额的现值（借款本金）

2.计算步骤

step1：

$C_u=H×S_u-D$①

$C_d=H×S_d-D$②

step2：

①式-②式，求得$H=\frac{C_u-C_d}{S_u-S_d}$;将H代入②,求得D，再求出PV（D）

【注意】代入②式计算方便，因为$C_d$通常为0

【例题应用】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升33.33％，或者下降25％，无风险利率为每年4％。

（1）股价二叉树

image-20231231163936608

（2）根据股价二叉树计算期权二叉树

image-20231231163949325

（3）构造一个借钱买股票的组合

H×66.67－D＝14.59

H×37.50－D＝0

解得H＝（14.59－0）/（66.67–37.50）＝0.5

将H代入H×37.50－D＝0

解得D＝0.5×37.50＝18.75（元）

借款额D的现值[PV（D）]＝18.75/（1＋2％）＝18.38（元）

（4）计算期权的价值

C0＝H×S0－PV（D）＝0.5×50－18.38＝6.62元

（5）验证

构建出的借钱买股票的组合：购买0.5股股票，同时以2％的利息借入18.38元。该组合的到期日收入计算如下：
股票到期日价格 66.67 37.50
组合中股票到期日收入 66.67×0.5＝33.34 37.5×0.5＝18.75
组合中借款本利和偿还 18.38×1.02＝18.75 18.38×1.02＝18.75
到期日收入合计 14.59 0

期权价值＝组合的投资成本＝购买股票支出－借款=0.5×50－18.38＝6.62元

【延伸】期权定价以套利理论为基础。构建套利组合的基本思路是建立期权、股票、资金借贷之间的对冲交易。

假设期权价格为6.7元，就会有人卖出1股看涨期权，购入0.5股股票，同时借入18.38元，则套利0.08元（6.7－6.62）

假设期权价格为6.5元，就会有人买入1股看涨期权，卖空0.5股股票，同时借出18.38元，则套利0.12元（6.62－6.5）

套期保值原理

只要股票数量和期权份数比例配置（即套期保值比率）适当，就可以使风险完全对冲。即无论到期日的股票价格上升还是下降，购入股票的同时出售该股票的看涨期权，或卖空股票的同时买入该股票的看涨期权，在到期日形成的投资组合现金净流量相同。

【注意】与之前所述复制原理的基本思路相同，最终目的都是求出H，进而计算股权价值。只不过在套期保值原理中，是购买股票和卖出看涨期权。

购买股票和卖出看涨期权现金流量

交易策略 当前（0 时刻） 到期日（$S_u$） 到期日（$S_d$）
购买 H 股股票 $-(H×S_0)$ $H×S_u$ $H×S_d$
出售 1 份看涨期权 $+C_0$ $-C_u$ $-C_d$
现金净流量合计 $-(H×S_0)+C_0$ $H×S_u-C_u$ $H×S_d-C_d$

无论到期日的股价是多少，该投资组合得到的净现金流量都是一样的，只要股票和期权的比例配置适当，就可以使风险完全对冲，锁定组合的现金流量。根据股价上行与下行时现金净流量相等，则：

（1）$H×S_u-C_u＝H×S_d－C_d$,所以$H=(C_u-C_d)/(S_u-S_d)$

（2）借款金额$PV(D)＝H×S_d/(1+r)$

（3）$C_0＝H×S_0-PV(D)$

计算步骤与复制原理相同。

风险中性原理

所谓风险中性原理，是指假设投资者对待风险的态度是中性的，风险中性的投资者不需要额外的收益补偿其承担的风险。所有证券的预期报酬率都应当是无风险利率。

期望报酬率＝上行概率×股价上升百分比＋下行概率×(-股价下降百分比）

假设标的股票的未来价格是两种可能中的一个，则：上行概率＋下行概率＝1，即下行概率＝1－上行概率

则上式变为：期望报酬率＝上行概率×股价上升百分比＋（1－上行概率）×(-股价下降百分比）=无风险报酬率

【计算步骤】

  1. 根据股价变化计算上行概率，下行概率:期望报酬率＝上行概率×股价上升百分比＋（1－上行概率）×率，下行概率(-股价下降百分比）

【注意】股价上升百分比＝（上行乘数－1），股价下降百分比=（1－下行乘数）

  1. 确定折现率:无风险利率（计息期）

  2. 构建股价二叉树:根据$S_0$以及上行乘数，下行乘数，推出$S_u$和$S_d$

  3. 推导期权二叉树:根据$X$、$S_u$和$S_d$，推出$C_u$和$C_d$

  4. 根据期权二叉树计算C0:根据Cu和Cd，上行概率、下行概率，求C0

    【例题】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升33.33％，或者降低25％。无风险利率为每年4％。根据风险中性原理计算该期权的价值。

    第一步：假设上行概率为a，则：期望报酬率＝＝4％/2＝a×33.33％＋（1－a）×(-25%)，解得a＝0.4629
    即上行概率＝0.4629，下行概率＝1－0.4629＝0.5371

    第二步：折现率＝半年无风险利率＝2%

    第三步：构建股价二叉树，当前股价S0＝50，Su＝50×（1＋33.33％）＝66.67元，Sd＝50×（1－25％）＝37.5元

    第四步：建立期权二叉树，执行价格为52.08，Cu＝66.67－52.08＝14.59，Cd＝0

    第五步：期权执行日到期日价值的期望值＝14.59×0.4629＋0×0.5371＝6.75元，期权价值C0＝6.75/（1＋2％）＝6.62元

两期二叉树期权定价模型

计算思路：

两期二叉树模型是单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的重复运用，任何一次应用均可使用前述的三种原理中的任何一个。

【例题】根据前例进行改编，将6个月的时间分为2期，每期3个月。变动以后的数据如下：ABC公司的股票现在的市价为50元，看涨期权的执行价格为52.08元，每期股价有两种可能，上升22.56％或下降18.4％；无风险利率为每3个月1％。应用风险中性原理计算期权价值。

image-20231231211158634

『正确答案』

（1）假设上行概率＝a，则期望报酬率＝1％＝a×22.56％＋（1－a）×(-18.4%)，上行概率a＝0.4736，下行概率＝1－0.4736＝0.5264

（2）计算Cu和Cd的价值

image-20231231211259516

（3）根据Cu和Cd的价值计算C0的价值

image-20231231211336927

所以，期权价值C0＝5.06元

【归纳】两期二叉树计算步骤（风险中性原理）

image-20231231211451445

多期二叉树模型

从原理上看，与两期模型一样，从后向前逐级推进，只不过多了一个层次。

期数增加以后带来的主要问题是股价上升与下降的百分比如何确定问题。期数增加以后，要调整价格变化的升降幅度，以保证年报酬率的标准差不变。

把年报酬率标准差和升降百分比联系起来的公式是：

image-20231231212043788

t=年数=月数/12=天数/360

由上述式子可得上行乘数与下行乘数之间的数据关系：

u×d=（1＋上升百分比）×（1-下降百分比）=1

【例题】已知：股票价格S0=50元，执行价格为52.08元，年无风险利率为4％，股价波动率（标准差）为0.4068，看涨期权到期时间为6个月，划分期数为6期（即每期1个月）。

求：上行乘数、下行乘数、上行概率、下行概率。

image-20231231212738675

下行乘数=1/1.1246=0.8892

所以，股价上行百分比=1.1246-1=12.46％，股价下行百分比=1-0.8892=11.08%

设上行概率为a，则，a×12.46％＋（1-a）×（-11.08％）=4%÷12

解得，上行概率=0.4848，下行概率=0.5152

布莱克－斯科尔斯期权定价模型【BS模型】

BS模型公式的基本假设

1.在期权寿命期内，期权标的股票不发放股利，也不做其他分配；

2.股票或期权的买卖没有交易成本；

3.短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；

4.任何证券购买者都能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；

5.允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金；

6.看涨期权只能在到期日执行**（欧式看涨期权）**；

7.所有证券交易都是连续发生【使用连续复利进行折现】的，股票价格随机游走。

BS模型公式

image-20231231212856386

【理解】BS模型公式

image-20231231214959975

image-20231231215015783

BS模型公式的参数——d1、d2的计算

image-20231231215034030

求得d1、d2后，可查表得N（d1）、N（d2）

【例题】某股票当前价格为 50 元， 有 1 股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为 52.08 元，

期权到期日前的时间为 0.5 年。每年复利一次的无风险利率为 4％，相当于连续复利的无风险利率 $r_c$ ＝ln

（1.04）＝3.9221％，连续复利年股票收益率的标准差。 $σ$＝0.4068，即方差$σ^2$ ＝0.1655。

要求： 使用 BS 模型计算该期权的价值

image-20231231215212629

（3）查表（正态分布下的累积概率[N（d）]）

$X/\sigma$ 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103

①d1 ＝0.0703

当 d＝0.07 时， N（d）＝0.5279

当 d＝0.08 时， N（d）＝0.5319

根据内插法，解得 N（d1 ）＝0.528

②d2 ＝-0.2174，按其绝对值 0.2174 查表，即按照-d2 查表

当 d＝0.21 时， N（d）＝0.5832

当 d＝0.22 时， N（d）＝0.5871

根据内插法，解得 N（-d2 ）＝0.5861

N（d2 ）＝1-0.5861＝0.4139

img

BS 模型公式的参数估计

无风险利率的估计

①期限要求：无风险利率应选择与期权到期日相同的国库券利率。如果没有相同时间的，应选择时间

最接近的国库券利率。

②这里所说的国库券利率是指其市场利率（根据市场价格计算的到期收益率） ，而不是票面利率。

③模型中的无风险报酬率是按连续复利计算的利率， 而不是常见的年复利。连续复利假定利息是连续

支付的，利息支付的频率比每秒 1 次还要频繁。

连续复利的推算如下：

已知： F 为终值，P 为现值， $r_c$ 表示连续复利率，t 表示时间

则：$F={P} \times e^{r_c t} \text { ，即 } e^{r_c t}=F /P$

两边同时取对数，得：

$$r_c t=ln(F/P)$$

则： $$r_c=ln(F/P)/t$$

标准差的估计

以历史报酬率估计， 计算标准差的方法与【第三章】讲述的方法相同， 注意样本方差自由度问题和连

续复利的股票报酬率公式与分期复利的股票报酬率公式不同问题， 详见教材。

看跌期权的估值（看涨看跌期权平价定理）【⭐⭐⭐】

对于欧式期权，假定看涨期权和看跌期权有相同的执行价格和到期日，则下述等式成立：

看涨期权价格 C－看跌期权价格 P＝标的资产的价格 S－执行价格的现值 PV（X）

这种关系，被称为看涨期权－看跌期权平价定理，利用该等式中的 4 个数据中的 3 个，就可以求出另外1个。

【提示】通常考试时，S 和 PV（X）已知，考察 C、P 的计算

【单选题】（2013）某股票的现行价格为 22 元，以该股票为标的资产的欧式看涨期权和欧式看跌期权的执行价格均为 26。都在 6 个月后到期。年报价无风险利率为 8％，如果看涨期权的价格为 8 元，看跌期权的价格为（ ）元。

A.4

B.12

C.11

D.5

『正确答案』C

『答案解析』8－看跌期权价格＝22－26/（1＋4％），所以看跌期权价格＝11 元。